By Guntram Scheithauer

Aus der Vielzahl theoretischer und praktischer Zuschnitt- und Packungsprobleme (ZPP) wird eine Auswahl grundlegender Optimierungsprobleme behandelt, einschließlich angepasster Modellierung, theoretischer Untersuchung, Auswahl von Lösungsstrategien und Beispielrechnungen. Ziel dabei ist, ein möglichst breites Spektrum zu überdecken und einige Anwendungsaspekte zu diskutieren. Der Leser erhält damit eine mathematische Grundlage zur Bearbeitung praxisrelevanter ZPP. Durch Aufgaben mit Lösungen wird der vermittelte Stoff eingeübt und vertieft.

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3 Die Längste-Wege-Methode 23 Schritt S3 zum Algorithmus von Gilmore/Gomory S3: Setze y := b, xi := 0, i = 1, . . , m, i := 1. Solange F(m, y) > 0: falls F(m, y − ai ) + ci = F(m, y), dann setze xi := xi + 1, y := y − ai , sonst i := i + 1. 1 erhält man x1 = 2, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 0. Weitere bzw. alle Lösungen können durch eine einfache Modiﬁkation dieser Vorgehensweise ermittelt werden, s. 2. 3 Die Längste-Wege-Methode Diese Lösungsmethode entspricht der Ermittlung eines längsten Weges in einem zugeordneten gerichteten Graphen, die ebenfalls auf dem Prinzip der dynamischen Optimierung basiert.

Dass die Zeilen von A linear unabhängig sind. In den von uns betrachteten Zuschnittproblemen ist diese Voraussetzung stets erfüllt. 9) mit der Koefﬁzientenmatrix (A| − E) und den Variablen (x, s). Auf Grund der Vollrangbedingung existieren m linear unabhängige Spaltenvektoren in A, die wir in der Matrix AB zusammenfassen. AB heißt Basismatrix, da ihre Spalten eine Basis im IRm bilden. Die Matrix AB ist damit invertierbar. 9) wie folgt schreiben: z = cT x = cTB xB + cTN xN → min bei Ax = AB xB + AN xN = b, xB ≥ 0, xN ≥ 0.

Falls min{ai : i ∈ I} > 1 gilt, können zusätzlich die Bögen (y, y+ 1) für y = 0, 1, . . , b− 1 deﬁniert werden, deren Bewertung jeweils 0 ist, um zu sichern, dass ein Weg vom Knoten 0 zum Knoten b existiert. An entsprechender Stelle werden wir darauf hinweisen, wenn dies erforderlich ist. Zunächst verzichten wir jedoch darauf. Zur Lösung des Rucksackproblems ist nun ein längster Weg in G gesucht, d. h. ein Weg mit maximaler Bewertung. Entsprechend dem Algorithmus von Ford/Moore zur Ermittlung eines längsten Weges (s.