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By Heinz-Georg Quebbemann

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Cm−1 ∈ K mit   0 ... 0 −c0 m 1 . . 0 −c1    A MA (F |U ) =  . g= ci ti mit cm := 1. ..  =: B(g), . . .  i=0 0 . . 1 −cm−1 b) F¨ ur jedes normierte Polynom g ∈ K[t] vom Grad m ≥ 1 wird die Begleitmatrix B(g) wie oben definiert. Sowohl ihr charakteristisches Polynom als auch ihr Minimalpolynom ist gleich g. 33 Wir definieren nun zu F : V → V eine Multiplikation des Polynomrings R = K[t] auf V durch r · v := r(F )(v) f¨ ur r ∈ R, v ∈ V. Hierdurch wird V ein R-Modul. Der F -zyklische Untervektorraum U (F, v) von V ist dann der R-Untermodul Rv.

H. F (U ) ⊂ U , und der Block ist die Matrix des Endomorphismus F |U : U → U . Wie kommt man zu solchen Unterr¨aumen? Antwort: im Prinzip durch jeden Vektor v ∈ V , man setze U (F, v) := Spann(v, F (v), F 2 (v), . ) = {p(F )(v) | p ∈ K[t]}. Dieser so genannte F -zyklische Untervektorraum ist offensichtlich F -invariant. 3) ψF : K[t] → End(V ), p → p(F ). Wegen dimK K[t] = ∞, dimK End(V ) = n2 ist ψF sicher nicht injektiv, sein Kern also nicht das Nullideal. Das eindeutig bestimmte normierte Polynom gF ∈ K[t] mit Kern ψF = gF K[t] heißt das Minimalpolynom von F .

Homologisch” gesprochen entsteht eine exakte Sequenz Φ Ψ 0 → Rn → Rn → V → 0 wobei der erste und letzte Pfeil f¨ ur einen trivialen Homomorphismus stehen und Exaktheit heißt, dass an jeder der drei Stellen → . ) Beweis. Sei A = (aij ), also F (ej ) = ni=1 aij ei , und sei (e(1) , . . , e(n) ) die kanonische Basis des Rn . Die Inklusion Bild Φ ⊂ Kern Ψ folgt aus n Ψ(Φ(e(j) )) = Ψ(te(j) − Ae(j) ) = F (ej ) − aij ei = 0. i=1 Zum Beweis der umgekehrten Inklusion bemerken wir zun¨achst, dass Ψ|K n die Umkehrabbildung des Koordinatenisomorphismus IC ist und somit den Kern {0} hat.

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